Lud Warynów

m4

niech mi ktos wtlucze do glowy pochodne;] bo ja rozumiem tylko trudne rzeczy...latwe nigdy;]

Gość

A jaki typ materiału? Podstawowy? Licealny czy ze studiów?

Doriath

Podstawy. Wzory. Gosia nie chce zrozumiec jak jej mowie, ze musi poprostu wykuc wzory i porozwiazywac przyklady. Smile

m4

studia:] czyli dla mnie od podstaw:P

Gość

Tj Doriath pisze, wzorki i przykłady. Jakbyś się nudził to popytaj w akademikach z elektrycznego, tam kolesie mają rozwiązane po 5tysięcy różnych pochodnych i tyle samo całek Very Happy

Staniol

a ja mysle ze Dorek moglby Ci Gosiu udzielic korepetycji

on przeciez sie na wszystkim zna Razz

Spider

przedorek - przegeniusz Razz

czego by on nie znal.. hu hu

Doriath

Ej moglibyscie ze mnie zejsc? Na wszystkim to sie zna Stanek, ja tylko na tym czego mnie na studiach ucza (no powiedzmy, ze na pewnej tego czesci Razz

)
Gosia jak wroce z uczelni i nie zasne od razu to postaram sie skrobnac jakis mini-wyklad, zeby Cie zaprzyjaznic z pochodnymi Razz

Staniol

ej no ja Dorku jestem od czesci humanistycznej:P a Ty od tej bardziej scislej

NO DAWAJ! SCISKAJ POSLADKI!!! Very Happy

Doriath

Jak ja Ci synek scisne posladki to zaczniesz srac nosem Razz

Doriath

No. Wrocilem z uczelni, wyspalem sie, wlasnie pije kawke i postanowilem zrobic to o co mnie tak ladnie wszyscy prosicie - napisac mini wykladzik na temat pochodnych Razz

Zacznijmy od malego wprowadzenia, a wlasciwie pewnych zalozen, ktore na potrzeby tegoz dziela mam zamiar przyjac. Zakladam wiec, iz pojecia takie jak funkcja, argument funkcji, ciaglosc funkcji sa osobie czytajacej tego posta dobrze znane i jest w stanie wyspiewac ich definicje obudzona w srodku nocy po ciezkiej popijawie Wink

Jedna rzecz jednak wyjasnie, bo w pewnym momencie moze ona pomoc w zrozumieniu pewnych spraw. Wiekszosc ludzi widzac taki zapis: y=2x stwierdza, ze y jest funkcja. Nie jest tak. W tym przypadku y jest zmienna zalezna funkcji. Funkcja jest np. f(x), g(x) itd. Zapis f(x) mozna odczytac 'funkcja f od iks', a zapis y=f(x) 'igrek jest funkcja iksa'. Po to zamieszanie? Ano po to, aby nieszczesny y nie kojarzyl sie z funkcja, gdyz mozemy trafic na sytuacje, kiedy y bedzie.. zwyklym argumentem funkcji, tak jak zazwyczaj x. Np. x=f(y) jest dokladnie odwrotna sytuacja niz, ze tak powiem 'normalnie' - x jest zmienna zalezna, y jest argumentem. No, to tyle tytulem wstepu, przejdzmy do dania glownego Smile

Pochodne funkcji. Na poczatek troszeczke teorii, choc z tego co wiem nie bedzie Ci to Gosiu do niczego potrzebne (przynajmniej aktualnie). Ale cos napisze, zebys miala jakiekolwiek pojecie z czym masz do czynienia Wink

A wiec - pochodne jako takie wynikaja z rachunku roznicowego (dokladnie rzecz biorac pochodna jest ilorazem roznicowym, ale do tego dojdziemy za sekundke). Pozwolcie, ze wrzuce w tym miejscu obrazek pogladowy, ktory jest niezwykle przydatny (sam narysowalem Razz

):
[link widoczny dla zalogowanych]
Na powyzszym obrazku zielona krzywa to kawalek przebiegu jakiejs tam sobie funkcji f(x), jej pochodna liczymy w punkcie x0. Prowadzimy wiec styczna do naszej funkcji w tymze punkcie (czerwona prosta). Otrzymujemy kat miedzy poprowadzona styczna, a osia ox oraz przyrosty delta x i delta y. Jak latwo zauwazyc stosunek tych przyrostow daje nam tangens wspomnianego kata Smile

Jesli to wszystko wrzucimy pod granice przy delta x -> 0 otrzymamy pochodna funkcji f(x) w punkcie x0. Jest to nic innego jak stosunek przyrostu wartosci funkcji do nieskonczenie malego elementarnego przyrostu argumentu. A informuje nas o szybkosci i kierunku zmian wartosci funkcji f(x) Smile

Oznaczenia pochodnej: ' (czyli prim), np f'(x) jest pochodna funkcji f(x).
dy/dx (dla y=f(x)) - pochodna y po x.
Tyle teorii.
A teraz zadanka. Na czym polegaja zadanka z pochodnych? Ano na korzystaniu ze wzorow. Tylko i wylacznie. No i jeszcze troszke na mysleniu i uwadze Wink

Wzory mozna znalezc na wikipedii, ale pozwole sobie rowniez wypisac ponizej kilka:
(c)' = 0
(ten zapis oznacza, ze pochodna z c rowna jest 0 - c oznacza stala (od constans))
(x^n)' = nx^(n-1)
(cf(x))' = cf'(x) (pochodna z 'stala razy funkcja' rowna jest 'stala razy pochodna funkcji')
(f(x)+-g(x))' = f'(x)+-g'(x)
(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)
(f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g^2(x)
(c^x)' = c^x*ln(c)
(e^x)' = e^x
(ln(x))' = 1/x
(sinx)' = cosx
(cosx)' = -sinx
(1/x)' = -1/x^2
To sa podstawowe wzorki. Pare przykladow:
f(x)=x^4 -> f'(x)=4x^3
f(x)=lnx; g(x)=x^2; y=f(x)*g(x)=lnx*x^2 -> y'=1/x*x^2+lnx*2x
f(x)=2*x^3 -> f'(x)=6x^2 (bo (x^3)'=3x^2, a bylo *2 (* stala), wiec mnozymy i wychodzi 6)
f(x)=10 -> f'(x)=0
Jedna mala uwaga - za stala jest uwazane wszystko co nie jest argumentem funkcji po ktorym liczymy pochodna. Czyli gdybysmy mieli np funkcje f(x1)=x1^2, a pochodna liczylibysmy po x2 to wynioslaby ona 0 Smile

Pochodne funkcji zlozonych:
y=f[g(x)] -> y'=f'*g'
przyklad: (sin^2(3x))' = 3(2sin(3x)cos(3x)) (najbardziej wewnetrzna funkcja 3x daje pochodna rowna 3 - stad ta 3 przed nawiasem; nastepnie pochodna funkcji sin^2(3x) daje 2sin(3x) i na koniec pochodna sin(3x) daje cos(3x) - wszystkie te wyniki mnozymy przez siebie)
y=u(x)^v(x) -> y'=u^v[v'*lnu+v*(u'/u)]
y=c^f(x) -> y'=c^f(x)[f'(x)*lnc]
y=e^f(x) -> e^f(x)*f'(x)
Koniec wzorkow. Nie sa to wszystkie mozliwe Wink

, po wiecej zapraszam na google/wikipedie/do wykladow/cokolwiek.
Chyba juz jest jasne, ze liczenie pochodnych to jedynie wzory. A najlepszym sposobem na ich nauczenie sie jest policzenie duuuuuzej ilosci przykladow Smile

Aaaa, bym zapomnial - pochodne posiadaja jedynie funkcje ciagle i do tego 'nieostre' (np. funkcja f(x)=|x| nie posiada pochodnej w punkcie x=0, mimo, ze jest ciagla).

Zarzuce jeszcze kilka przykladzikow, zeby chetni mogli sobie pocwiczyc Wink

1. f(x)=x^2*ln(1/x)
2. f(x)=sqrt(x^3+2) (sqrt oznacza pierwiastek kwadratowy)
3. f(x)=log (przy podstawie sqrt(3x^2-sinx)) z 2/x
4. f(x)=(ln(sqrt(x))^(cos^2(x))

No Smile

Po wlasciwe odpowiedz zapraszam na priwa/maila/gg. No chyba, ze za jakis czas zamieszcze je w tym watku Smile

Zycze wielu wspanialych chwil z pochodnymi! Razz

LOL

P.S. Jesli ktos znalazl jakies bledy/niescislosci/cokolwiek do poprawienia niech wali smialo Smile

P.P.S. Ciekawe kto pierwszy mnie dojedzie, ze sie madrze Smile

Staniol

eh ja tylko powiem tak:

1. nie znam sie wiec nie znajde bledow zadnych
2. nie znajde bledow zadnych bo nawet nie chce mi sie tego czytac
3. jak ktos bedzie mial pytania apropo pochodnych to wiecie do kogo sie zglosic Very Happy

Gość

"wspaniałe chwile z pochodnymi" (?!) taa:P

m4

Dorek oszalał;p Crying or Very sad

Doriath

Kasia - no to byla delikatna ironia Razz

Gosia - ej no scialem dobshe Sad

Gość

Gość

........ Dorek i ty śmiesz mnie durniem czy wariatem nazywać?? <plask>

Spider

dorek jak to przeczytalem teraz na spokojnie.. to smiem twierdzic ze jestes jednak na dobrym kierunq zeby oszalec Smile

1. ja daje tak jak stan -> nie znam sie i nie znajde bledow..
2. nic z tego nie rozumiem
3. nie chce zrozumiec Very Happy

Dorek - <plask>

Doriath

Zeby zwariowac? Ja juz zwariowalem Razz

Piotrek ale o co Ci chodzi?
W ogole zejdzcie juz ze mnie qrde. Chciales czlowieku pomoc to masz. ehh, kumple. <plask> kazdemu z osobna Razz

Spider

ja pomoc z pochodnych? nie chcialem

Gość

... Marcinie drogi, chodzi mi o to, że pisząc np. txt pochwalny dla Staniolówki, powiedziałeś, że jestem wariatem i jak mogę pisać coś takiego

........ no to ja się pytam: jeżeli ja jestem wariatem, to jak inaczej Ciebie nazwać w zaistniałej sytuacji

Doriath

Milym i pomocnym kolega? Razz

Gość

to było bardzo miłe i myśle, że nie każdy by sie na to zdobył Razz

(ja np czekam na poprawke z pochodnych i tych tam całek:D) tak więc ave:D

Gość

.........Dor nie schlebiaj sobie

m4

dobra to jade na kolosa:PPPPPP z pochodnych of kors;p